Cấp Số Nhân Là Gì? Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Và Bài Tập

Cấp số nhân là phần kỹ năng cần thiết nhập công tác toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp cho số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài bác luyện thì những em cần thiết ghi lưu giữ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài bác luyện cấp cho số nhân qua loa nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một trong những mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một số trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: tính tổng cấp số nhân

$u_{n}$ là cấp cho số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n \in N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$ , với $u_{n}=3^{n}$ là một trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân u_n có

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

$(u_{n})$ là một trong những cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục bởi vì tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

Nếu một cấp cho số nhân u_n sở hữu số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát mắng u_n sẽ tiến hành tính bởi vì công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy mò mẫm u₄

Lời giải:

Ta có: u₂²= u₁. u₃= 3

u₃²= u₂. u₄

Từ (1) bởi u₂ > 0 ( vì như thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

Khi q = 0 thì mặt hàng sở hữu dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁
Khi q = 1 thì mặt hàng sở hữu dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.
Khi u₁= 0 thì với từng q, cấp cho số nhân sở hữu dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao hoàn toàn cỗ kỹ năng về cấp cho số nhân

4. Tổng phù hợp những công thức tính cấp cho số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
Kết luận:

Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng u_n là cấp cho số nhân
Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng u_n ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân sở hữu số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng trước tiên.

Lời giải:

Ta sở hữu 6 số hạng trước tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n sở hữu số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

Tìm số hạng loại nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

Ta có: r^(5-2)= r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ cơ r = 5.

$\Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng loại nhất là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài cho tới cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$ . Dãy số U_n bên trên là cấp cho số nhân đích thị hoặc sai?

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (U_n) là một trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc điểm của CSN, đổi khác nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân U_n sở hữu U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tao có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân U_n sở hữu U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ công thức tao có:

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề cho tới phụ thân số x,y,z lập trở thành một cấp cho số nhân và phụ thân số x, 2y, 3z lập trở thành một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở thành một cấp cho số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

Giải Việc công thức cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để mò mẫm số hạng của cấp cho số nhân tao dùng công thức tính số hạng tổng quát mắng U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁và q của cấp cho số nhân biết:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta vươn lên là đổi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12$

Vậy cấp cho số nhân (u_n) sở hữu u₁ = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp cho số nhân (u_n) với u₃= 8 , u₅= 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân cơ là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (u_n), tao sở hữu $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tao sở hữu u₁₀= u₃. q^₇= 8 . 2^₇= 1024

Với q = -2, tao sở hữu u₁₀= u₃. q⁷= 8 . (-2)⁷= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (u_n), hiểu được số hạng trước tiên u₁= 3, công bội là 2. Hãy mò mẫm số hạng loại 5

Lời giải:

Áp dụng công thức tao sở hữu : u_n= u₁. q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅= u₁. q⁴=3 . 2⁴= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng trước tiên nhập dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng trước tiên nhập mặt hàng - công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(u_n) sở hữu u₁=2 và q = 3.

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài cho tới cấp cho số nhân (u_n) với

$(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì?
10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (u_n) bên trên sở hữu tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Giải bài bác luyện vận dụng công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

Dãy số là cấp cho số nhân là đích thị hoặc sai?
Tính S = u₂+ u₄+ u₆... + u₂₀

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (U_n) là một trong những cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở thành một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u₂= 9, q = 3

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác tấp tểnh những bộ phận kết cấu nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy đi ra được công thức cho tới số hạng tổng quát mắng .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, mò mẫm u₁ khi:

$u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}$

Mà $u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow$ Ta sở hữu q = 3 hoặc $q = \frac{1}{3}$

Khi cơ đợt lượt $u_{1} = \frac{81}{11}$ hoặc $u_{1} = \frac{1}{11}$

Xem thêm: trong quá trình dịch mã

Ví dụ 2: Dãy số này là cấp cho số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...
1,22,222,2222,...
X,2x,3x,4x,...
2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét đáp án A tao có:

u₁= 1, u₂= u₁. 0,2, u₃= u₁. (0,2)², u₄= u₁. (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tao minh chứng được u_n= (0,2)ⁿ

Khi cơ $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy mặt hàng số là cấp cho số nhân sở hữu công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp cho số nhân (u_n) cần thiết mò mẫm sở hữu công bội q, số hạng trước tiên u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂+ u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅)

= q . S₅

Mà S₅= 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp cho số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm hoàn toàn kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (u_n) sở hữu công bội q vừa lòng -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n= u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ- 1)(q - 1)

Trong cơ s_n là tổng n số hạng trước tiên của cấp cho số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp cho số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp cho số nhân lùi hạn

Đề bài bác cho tới cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tao sở hữu tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu trình diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng phụ thân số hạng trước tiên của mặt hàng số là $\frac{39}{25}$ . Xác tấp tểnh (u₁), q của cấp cho số đó?

Lời giải:

Giải Việc vận dụng công thức cấp cho số nhân

6. Một số bài bác luyện cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un sở hữu công bội q

a) thạo u₁= 2, u₆ = 486. Tìm q

b) thạo $q= \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tính u₁

c) thạo u₁ = 3, q = -2. Xác tấp tểnh số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cấp cho số nhân?

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁.q^n-1

a) Theo công thức bên trên tao có: u₆ = u₁.q⁵ $\Rightarrow$ $q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3$

b) Theo công thức tao có: u₄ = u₁.q³ $\Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}$

c) Theo công thức tao có: $12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (u_n) biết cấp cho số nhân bao gồm sở hữu 5 số hạng và:

a) TH1: u₃= 3 , u₅= 27

b) TH2: u₄– u₂ = 25 , u₃ – u₁ = 50

Lời giải:

a) Theo công thức u_n = u₁.q^{n - 1} ta sở hữu thứu tự những số hạng u₃ và u₅ được tính như sau:

u₃ = u₁.q² $\Rightarrow$ 3 = u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ $\Rightarrow$ 27 = u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) tao hoàn toàn có thể suy đi ra được

$q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tao sở hữu $u_{1} = \frac{1}{3}$ ta sở hữu cấp cho số nhân thứu tự là: $\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27$

Với q = -3 tao sở hữu $u_{1} = -\frac{1}{3}$ ta sở hữu cấp cho số nhân thứu tự là: $\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27$

b) Theo đề bài bác đi ra tao có:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.$

Thay (2) nhập phương trình (1) tao sở hữu 50.q = 25 $\Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}$

Vậy tao sở hữu cấp cho số nhân như sau:

$-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu bởi vì 31, kể từ cơ tao suy ra:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

$\Rightarrow$ u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 31q

$\Rightarrow$ u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau bởi vì 62 kể từ cuộc suy ra

u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S₅ = 31 = $\frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1$

Vậy tao sở hữu cấp cho số nhân bám theo đề bài bác là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân sinh của tỉnh x là một,4%. thạo rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc này là một,8 triệu con người, căn vặn với nút tăng lương lậu vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ lúc này là N

Sau 1 năm dân sinh tăng là một,4%N

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này đó là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh cơ sau từng năm lập trở thành một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác cho tới u_n sở hữu những số hạng 0, tìm u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$ . Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải:

Giải Việc vận dụng công thức cấp cho số nhân

Tham khảo ngay lập tức một số trong những dạng bài bác luyện thương gặp gỡ về cấp cho số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng trong suốt lộ trình học tập kể từ mất mặt gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập bám theo sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks canh ty tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính phí ngay!!

Xem thêm: cách tính hiệu suất phản ứng

Trên đấy là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện và đào tạo nhằm học tập và ôn luyện kỹ năng Toán 11 phục vụ ôn đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Tổng phù hợp những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài bác tập
Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài bác tập
Xác suất của vươn lên là cố
Giới hạn của mặt hàng số