Căn bậc hai của 3

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Căn bậc nhì của 3 là một vài thực dương sao mang đến khi nhân với chủ yếu nó thì đã cho ra số 3. Chính xác rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 3, nhằm phân biệt với số tâm sở hữu nằm trong đặc thù. Nó được kí hiệu là √3 hoặc 3^¹⁄₂.

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 3

Căn bậc nhì của 3 là một vài vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, gọi là theo đòi Theodorus xứ Cyrene, người vẫn minh chứng tính vô tỉ của chính nó.

Sáu mươi chữ số trước tiên vô màn biểu diễn thập phân của chính nó là:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (dãy số A002194 vô bảng OEIS)

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một vài phương pháp để xấp xỉ độ quý hiếm của √3. Thuật toán thông thường được sử dụng trong số PC cá thể và PC đuc rút là cách thức Babylon nhằm tính căn bậc nhì của một vài. Các bước tổ chức như sau:

Lấy một vài a₀ > 0 bất kì thực hiện độ quý hiếm ban sơ (càng ngay gần √3 càng tốt)
Tính từng số hạng theo đòi công thức truy hồi sau:

Lặp lại bước 2 cho tới khi đạt được phỏng đúng chuẩn quan trọng.

Dãy (a_n) bên trên là sản phẩm quy tụ bậc nhì, tức từng phiên tính mang đến tớ khoảng chừng gấp hai số chữ số thập phân đích. Bắt đầu với a₀ = 1 mang đến tớ những xấp xỉ:

a₁ = 7/4 = 1.75
a₂ = 97/56 = 1.73214...
a₃ = 18817/10864 = 1.73205081...
a₄ = 708158977/408855776 = 1.732050807568877295...

Tháng 12 năm trước đó, độ quý hiếm của √3 vẫn được xem cho tới tối thiểu chục tỉ chữ số thập phân.^[1]

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số 97/56 (1732142857…) hoàn toàn có thể được sử dụng thực hiện xấp xỉ mang đến căn bậc nhì của 3. Tuy chỉ mất khuôn mẫu số 56, nó chỉ gián đoạn độ quý hiếm đích thấp hơn 1/10,000 (khoảng 92×10⁻⁵). Giá trị thực hiện tròn trặn 1.732 đích cho tới 99.99% độ quý hiếm thực.

Archimedes xác định rằng (1351/780)²
> 3 > (265/153)²
,^[2] theo lần lượt với sai số là 1/608400 (sáu chữ số thập phân) và 2/23409 (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

√3 hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bởi vì phân số liên tiếp [1;1,2,1,2,1,2,1,…] (dãy số A040001 vô bảng OEIS), tức là

Theo đặc thù của liên phân số thì nếu

thì khi n 🡒 ∞

Xem thêm: tính từ trong tiếng anh là gì

Ngoài đi ra cũng hoàn toàn có thể biễu trình diễn bên dưới dạng liên phân số tổng quát tháo như

thực hóa học là [1;1,2,1,2,1,2,1,…] tính nhì số hạng đồng thời.

Biểu trình diễn bình phương[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức bình phương lồng nhau sau tiến bộ về √3:

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh bởi vì lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh thông thường được sử dụng mang đến tính vô tỉ của √3 dùng cách thức lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này hoàn toàn có thể được vận dụng mang đến bất kì số nguyên vẹn này ko cần là số chủ yếu phương.

Giả sử √3 là một vài hữu tỉ, tức √3 hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, vô ê a và b thành phần bên nhau.
Ta suy đi ra a²/b² = 3 hoặc a² = 3b². (a² và b² là những số nguyên)
Do ê a² phân tách không còn mang đến 3, nên a cũng phân tách không còn mang đến 3, tức tồn bên trên số nguyên vẹn k sao mang đến a = 3k.
Thay 3k mang đến a vô đẳng thức ở bước 2: 3b² = (3k)² tớ được b² = 3k².
Lập luận như bước 3, tớ được b² là số phân tách không còn mang đến 3, nên b cũng phân tách không còn mang đến 3.
Như vậy cả a và b đều phân tách không còn mang đến 3, nên bọn chúng sở hữu một ước cộng đồng là 3, trái khoáy với fake thiết rằng a và b là nhì số thành phần bên nhau.

Chứng minh bởi vì tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một minh chứng không giống mang đến tính vô tỉ của √3 là dùng một tình huống đặc trưng của tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là 1 trong những nhiều thức monic (tức nhiều thức sở hữu thông số bậc tối đa bởi vì 1) với thông số nguyên vẹn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ này của P(x) cũng chính là một vài nguyên vẹn. kề dụng tấp tểnh lý mang đến nhiều thức P(x) = x² − 2, tớ suy đi ra √3 hoặc là số nguyên vẹn hoặc là số vô tỉ. Vì 1 < √3 < 2 nên nó ko là một vài nguyên vẹn, vì thế √3 là một vài vô tỉ.

Hình học tập và lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

√3 là phỏng lâu năm cạnh của một tam giác đều nội tiếp lối tròn trặn sở hữu nửa đường kính bởi vì 1. Tương tự động, nếu như một tam giác đều sở hữu cạnh 1 bị chia thành nhì nửa đều bằng nhau, từng nửa là 1 trong những tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền bởi vì 1, cạnh góc vuông là 1/2 và √3/2. Từ ê tớ suy đi ra giá tốt trị những hàm con số giác của 60° và 30°.

Xem thêm: lời dẫn chương trình văn nghệ

Căn bậc nhì của 3 cũng xuất hiện tại vô biểu thức đại số của tương đối nhiều hằng con số giác như^[3]

Ngoài đi ra √3 còn là một khoảng cách thân thích nhì cạnh đối nhau của hình lục giác đều sở hữu cạnh 1, Hay là lối chéo cánh của hình lập phương đơn vị chức năng.

Ứng dụng khác[sửa | sửa mã nguồn]

Kỹ thuật điện[sửa | sửa mã nguồn]

Trong năng lượng điện lực, hiệu năng lượng điện thế thân thích nhì chão trộn (điện áp dây) vô khối hệ thống năng lượng điện phụ thân trộn bởi vì √3 nhân hiệu năng lượng điện thế của thân thích một chão trộn và chão dung hòa (điện áp pha). Đây là vì nhì trộn xa nhau chừng 120°, và nhì điểm xa nhau chừng 120 phỏng bên trên lối tròn trặn thì sở hữu khoảng cách bởi vì √3 nhân nửa đường kính lối tròn trặn ê.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Căn bậc nhì của 2
Căn bậc nhì của 5

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

S., D.; Jones, M. F. (1968). “22900D approximations to lớn the square roots of the primes less than thở 100”. Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
Uhler, H. S. (1951). “Approximations exceeding 1300 decimals for √3, 1/√3, sin(π/3) and distribution of digits in them”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . London: Penguin Group. tr. 23.