Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân là nội dung bài học kinh nghiệm yên cầu chúng ta học viên cần thiết ghi ghi nhớ rõ rệt nhằm đơn giản dễ dàng vận dụng nhập bài bác tập dượt. Đây cũng chính là dạng toán thông thường bắt gặp nhập kì ganh đua ĐH, chính vì vậy Vuihoc tiếp tục mang về cho những em học viên bài bác tổ hợp vừa đủ công thức về cung cấp số nằm trong cung cấp số nhân.

1. Cấp số nằm trong và cung cấp số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong lịch trình toán trung học phổ thông, cung cấp số nhân là 1 trong mặt hàng số vừa lòng ĐK số thứ hai của mặt hàng số này là tích của số đứng trước với cùng 1 số ko thay đổi. Số ko thay đổi này được gọi là công bội của cung cấp số nhân. Từ cơ tớ sở hữu khái niệm về cung cấp số nhân như sau:

Bạn đang xem: cấp số nhân cấp số cộng

Un là cung cấp số nhân tương tự với un+1=un.q, nhập cơ n∈N
q là công bội và q được tính: $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Số hạng tổng quát

Để rất có thể tính số hạng tổng quát tháo của cung cấp số nhân, tất cả chúng ta vận dụng công thức sau:

un =u1. Qn-1

Tính hóa học của cung cấp số nhân

Công thức cung cấp số nằm trong cung cấp số nhân và tính chất

Tổng n số hạng đầu

tổng n số hạng đầu công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

1.2. Cấp số cộng

Cấp số nằm trong được dùng để làm có một mặt hàng số vừa lòng số đứng sau vì chưng tổng của số đứng trước với một số trong những ko thay đổi. Số ko thay đổi này gọi là công sai.

Dãy số cung cấp số nằm trong rất có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ cơ tất cả chúng ta sở hữu tấp tểnh nghĩa:

Un là cung cấp số nằm trong nếu: u_n + 1 = u_n + d

Trong cơ sở hữu d là công sai = u_n + 1 – u_n

Số hạng tổng quát

Chúng tớ tính được số hạng tổng quát tháo bằng phương pháp trải qua số hạng đầu và công sai sở hữu công thức như sau:

u_n = u₁ + (n – 1)d

Tính hóa học cung cấp số cộng

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$

Tổng n số hạng đầu

$S_{n} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}; n\in \mathbb{N}^{*}$

$S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d$

$S_{n} = \frac{n[2u_{1} + (n - 1)d]}{2}$

2. Tổng thích hợp những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

Công thức cấp số nhân cấp số cộng rất giản đơn ghi ghi nhớ. Đây là những công thức sở hữu tương quan cho tới độ quý hiếm đặc thù của 2 dạng mặt hàng số này.

2.1. Công thức cung cấp số cộng

Công thức cung cấp số nằm trong tổng quát:

u_n= u_m+ (n-m)d

Từ công thức tổng quát tháo bên trên tớ suy đi ra số hạng thứ hai trở chuồn của cung cấp số cộng bằng tầm nằm trong của 2 số hạng ngay tắp lự kề nó.

$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ hai của cung cấp số nằm trong là từng nào biết số hạng loại 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ sở hữu số hạng thứ hai của cung cấp số nằm trong là: u₂ = u₇ + (2 - 7)d = 100 - 5.2 = 90

Chúng tớ sở hữu 2 công thức nhằm tính tổng n số hạng đầu so với cung cấp số nằm trong. Ta có:

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}u_{k} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng trăng tròn số hạng đầu của cung cấp số nằm trong biết cung cấp số nằm trong sở hữu số hạng đầu vì chưng 3 và công sai vì chưng 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

$S_{20} = \frac{20.(2.3 + 19.2)}{2} = 440$

2.2. Công thức cung cấp số nhân

Ta xét những cung cấp số nhân nhưng mà số hạng đầu và công bội không giống 0. Điều cơ sở hữu nghĩa toàn bộ những số hạng của cung cấp số nhân không giống 0. Ta sở hữu công thức cung cấp số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: thạo số hạng loại 8 của cung cấp số nhân vì chưng 32 và công bội vì chưng 2. Tính số hạng loại 5 của cung cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

Giải bài bác tập dượt công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

Từ công thức bên trên tớ suy đi ra được những công thức:

u_n = u₁.q^n-1, $\forall$ n $\geq$ 2

$u_{k}^{2} = u_{k - 1}. u_{k + 1}$ , $\forall$ k $\geq$ 2

Tổng n số hạng đầu cung cấp số nhân được xem theo đuổi công thức:

$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cung cấp số nhân sở hữu số hạng đầu vì chưng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cung cấp số nhân.

Giải: kề dụng công thức tớ có:

Giải bài bác tập dượt ví dụ công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn và bài bác tập

Đăng ký ngay lập tức khóa đào tạo DUO 11 và để được những thầy cô kiến tạo trong suốt lộ trình ôn ganh đua trung học phổ thông đạt 9+ sớm ngay lập tức kể từ bây giờ

3. Một số bài bác tập dượt về cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân (kèm câu nói. giải chi tiết)

Bài 1: Tìm tư số hạng liên tục của một cung cấp số nằm trong hiểu được tổng của bọn chúng vì chưng trăng tròn và tổng những bình phương của bọn chúng vì chưng 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng cơ theo thứ tự là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này tớ có:

Bài tập dượt công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân

Kết luận tư số tất cả chúng ta cần thiết mò mẫm theo thứ tự là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cung cấp số cộng:

(u_n): $\left\{\begin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21\\ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 \end{matrix}\right.$

Hãy tính số hạng loại 100 của cung cấp số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} + 3d) = -34\\ u_{1} + 4d +3(u_{1} + 2d) - (u_{1} + d) = -21 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = -7\\ u_{1} +12d = -34 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 2\\ d = -3 \end{matrix}\right.$

Xem thêm: dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cung cấp số cộng

$u_{n}: \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính công sai, công thức tổng quát tháo cung cấp số nằm trong tiếp tục mang đến.

Giải:

Gọi d là công sai của cung cấp số nằm trong tiếp tục mang đến, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10\\ u_{1} + 3d + (u_{1} + 5d) = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = 10\\ u_{1} + 4d = 13 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Công sai của cung cấp số nằm trong bên trên d=3, số hạng tổng quát tháo là u_n= u₁+(n-1)d = 3n-2

Bài 4: Cho cung cấp số cộng

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính S = u₁ + u₄+ u₇+…+ u₂₀₁₁?

Giải:

Ta sở hữu những số hạng u₁, u₄, u₇,…,u₂₀₁₁ lập được trở thành một cung cấp số nằm trong bao hàm 670 số hạng và sở hữu công sai d’ = 3d. Do cơ tớ có:

$S = \frac{670}{2}(2u_{1} + 669d') = 673015$

Bài 5: Cho cung cấp số nằm trong hãy xác lập công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cung cấp số nằm trong, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} - (u_{1} + 2d) + u_{1} + 4d = 10\\ u_{1} + 3d + u_{1} + 5d = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 2d = 10\\ u_{1} + 6d = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Vậy tớ sở hữu công sai của cung cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (u_n) sở hữu những số hạng không giống 0 hãy mò mẫm u₁ biết rằng:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{3} + u_{4}^{4} = 85\\ u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 15 \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2}(1 + q^{2} + q^{4} + q^{6}) = 85\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3}) = 15 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\frac{q^{4} - 1}{q - 1} = 15\\ u_{1}^{2}\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1} = 85 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\frac{q^{4} - 1}{q - 1})^{2} (\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1}) = \frac{45}{17} \Leftrightarrow \frac{(q^{4} - 1)(q + 1)}{(q - 1)(q^{4} = 1)} = \frac{45}{17}$

$\Leftrightarrow$ q = 2 hoặc q = $\frac{1}{2}$

Kết luận u₁= 1 hoặc u₁= 8

Bài 7: Cho cung cấp số nhân sau:

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Hỏi 5 số hạng đầu của cung cấp số nhân bên trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cung cấp số. Theo giải thiết tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2} = 243u_{1}q^{7}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{243} = q^{5}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q = \frac{1}{3}\\ u_{1} = 2 \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cung cấp số nhân cần thiết mò mẫm là u₁= 2, u₂= 23, u₃= 29, u₄= 27, u₅= 281

Bài 8: Cho cung cấp số nhân sau:

$(u^{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cung cấp số nhân?

Giải:

$S_{10} = u_{1}\frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 2.\frac{(\frac{1}{3})^{10} - 1}{q - 1} = \frac{59048}{19683}$

Bài 9: Cho cung cấp số nhân thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

Hãy tính công bội và công thức tổng quát tháo của cung cấp số nhân bên trên.

Giải:

a. Từ fake thiết nhưng mà đề bài bác tiếp tục mang đến tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{2} + u_{3} + u_{4} = \frac{39}{11}\\ u_{1} + u_{1}q^{4} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} +q} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow (q - 3)(3q - 1)(13q^{2} + 16q + 13) = 0$

$\Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$ hoặc q = 3

Trong TH $q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{81}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{81}{11}\frac{1}{3^{n-1}}$

Trong TH q = 3 $\Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{3^{n - 1}}{11}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng trong suốt lộ trình học tập kể từ thất lạc gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đuổi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks chung bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không tính phí ngay!!

Hy vọng những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân nhưng mà VUIHOC mang về phần này chung chúng ta ghi ghi nhớ hiệu suất cao và và giới hạn sơ sót nhập quy trình giải bài bác tập dượt cung cấp số cộng, cấp số nhân nhập lịch trình Toán 11. Các chúng ta học viên hãy ĐK khóa đào tạo giành cho học viên lớp 12 ôn ganh đua trung học phổ thông bên trên Vuihoc.vn nhé! Chúc chúng ta ôn ganh đua thiệt hiệu suất cao.

Xem thêm: cho dạng đúng của từ trong ngoặc

>> Xem thêm:

Tổng thích hợp công thức Toán 12 ôn ganh đua trung học phổ thông Quốc gia

Ôn ganh đua toán chất lượng tốt nghiệp THPT