thể tích khối chóp đều

Công thức tổng quát mắng và công thức tính nhanh chóng thể tích khối chóp đều:

Khối chóp đều

  • Là khối chóp đem lòng là nhiều giác đều và những cạnh mặt mũi đều bằng nhau (hoặc góc thân thiện lòng và những cạnh mặt mũi vày nhau)

  • Chân đàng cao trùng với tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp mặt mũi đáy;

  • Các cạnh mặt mũi tạo ra với lòng góc vày nhau;

  • Các mặt mũi mặt tạo ra với lòng góc vày nhau;

  • Chiều cao $h$ khối chóp xác lập vày $h=\sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ vô bại ${{R}_{d}}$ là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác lòng và $b$ là phỏng nhiều năm cạnh mặt mũi.

  • Khối chóp n giác đều, phỏng nhiều năm cạnh lòng là a, phỏng nhiều năm cạnh mặt mũi là b đem $V=\dfrac{1}{24}{{a}^{2}}\cot \dfrac{\pi }{n}\sqrt{4{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{n}}}.$

Một số tình huống đặc trưng của khối chóp đều

  • Khối tứ diện đều cạnh $a$ đem $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ vô bại $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ là độ cao khối tứ diện đều.  
  • Khối chóp tam giác đều cạnh lòng vày $a,$ cạnh mặt mũi vày $b$ đem $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
  • Khối chóp tứ giác đều cạnh lòng vày $a,$ cạnh mặt mũi vày $b$ đem $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
  • Khối chóp tứ giác đều phải sở hữu toàn bộ những cạnh vày $a,$ đem $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
  • Khối chén diện đều cạnh $a$ là thích hợp của nhị khối chóp tứ giác đều phải sở hữu toàn bộ những cạnh vày $a$ đem $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
  • Khối chóp lục giác đều cạnh lòng vày $a,$ cạnh mặt mũi vày $b$ đem $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$

>>Xem thêm: Công thức tổng quát mắng tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống quánh biệt

>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp đem cạnh mặt mũi vuông góc với mặt mũi lòng và thể tích của khối chóp đem nhị mặt mũi mặt nằm trong vuông góc với mặt mũi đáy

>>Xem thêm: Giải đáp học viên - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? nhằm hình chóp S.ABCD rất có thể tích lớn số 1.

Combo 4 Khoá Luyện đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5

Khối chóp có tính nhiều năm phụ thân cạnh mặt mũi vày nhau

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ đem $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân đàng cao của khối chóp trùng với tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy độ cao khối chóp $h=\sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$

Bạn đang xem: thể tích khối chóp đều

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ đem $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{m}}(3\le m\le n)$ khi bại nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên phía trên mặt phẳng phiu lòng trùng với tâm nước ngoài tiếp của nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem $AB=a,\text{ }BC=3a,\text{ }CA=\dfrac{5a}{2}.$ hiểu ${A}'A={A}'B={A}'C$ và cạnh mặt mũi $A{A}'$ tạo ra với mặt mũi phẳng phiu lòng $\left( ABC \right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ vẫn mang đến bằng

A. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

B. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

C. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

D. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

Giải. Vì ${A}'A={A}'B={A}'C$ nên hình chiếu vuông góc của \[{A}'\] xuống mặt mũi phẳng phiu $\left( ABC \right)$ trùng với tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp $O$ của tam giác $ABC.$

Ta đem ${A}'O\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AO}={{60}^{0}}\Rightarrow {A}'O=OA\tan {{60}^{0}}={{R}_{ABC}}\sqrt{3}=\dfrac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}\sqrt{3}$

$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'O=\dfrac{AB.BC.CA}{4}\sqrt{3}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ đem $SA=1,$ toàn bộ những cạnh còn sót lại vày $\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Xem thêm: số tự nhiên chẵn lớn nhất có tám chữ số khác nhau

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Giải. Tứ giác $ABCD$ có tính nhiều năm những cạnh vày $\sqrt{3}$ nên là 1 hình thoi có tính nhiều năm cạnh vày $\sqrt{3}.$

Vì $SB=SC=SD=\sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên phía trên mặt phẳng phiu $(ABCD)$ trùng với tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân nặng bên trên $C$ nên $H\in AC$ là trung trực của cạnh $BD.$

Gọi $O=AC\cap BD$ xem xét $\Delta SBD=\Delta ABD(c-c-c)\Rightarrow SO=AO\Rightarrow SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông bên trên $S.$

Do bại $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}.1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta đem $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4\left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} \right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8\Rightarrow BD=2\sqrt{2}.$

Do bại ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2.2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện: Khối chóp $S.ABCD$ đem lòng là hình thoi cạnh $2$ và $SB=SC=SD=2,$ cạnh $SA$ thay cho thay đổi. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Thể tích lớn số 1 của khối tứ diện $MBCD$ bằng

Xem thêm: đề thi văn vào 10 năm 2021