Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Trong công tác toán 8 liên kết trí thức, chân mây tạo ra, cánh diều những em sẽ tiến hành học tập những kỹ năng và kiến thức về đặc thù đàng phân giác của tam giác. Bài ghi chép sau đây tiếp tục tổ hợp kỹ năng và kiến thức những em cần thiết bắt nhập bài xích đặc thù đàng phân giác của tam giác lớp 8. Mời những em nằm trong bám theo dõi.

1. Tính hóa học đàng phân giác của tam giác

- Định lý: Trong một tam giác, đàng phân giác cảu một góc phân tách cạnh đối lập trở nên nhị đoạn trực tiếp tỉ trọng với nhị cạnh kề với nhị đoạn ấy.

Bạn đang xem: tính chất đường pg trong tam giác

- Chứng minh quyết định lý:

Vẽ đường thẳng liền mạch qua quýt B tuy nhiên song với AD và rời AC bên trên điểm E như hình vẽ.

Theo fake thiết tao với AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAD}$

=> $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$

Ta với BE // AD => $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$ ( nhị góc ví le trong) và $\large \widehat{A_{2}}=\widehat{E}$ (hai góc đồng vị)

=> $\large \widehat{B_{1}}=\widehat{E}$ => $\large \Delta AEB$ cân bên trên A.

=> AE = AB (1)

Áp dụng quyết định lý thales vào $\large \Delta CEB$ , tao có:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}(2)$

Từ (1) và (2) => $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}(dpcm)$

- Chú ý: Trong $\large \Delta$ ABC, nếu như D là vấn đề nằm trong đoạn BC và thỏa mãn $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ thì AD là đàng phân giác của góc A.

2. Các dạng bài xích về đặc thù đàng phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài xích tính chừng lâu năm cạnh, diện tích S, chu vi

Cách làm: sít dụng đặc thù đàng phân giác của tam giác, những tỉ trọng thức, quyết định lý thales, quyết định lý pytago để đổi khác và đo lường.

Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ có AB = 5cm, CA = 6cm, BC = 7cm. AE là tia phân giác của $\large \widehat{A}$ . Hãy tính đoạn EC, EB.

Lời giải: sít dụng đặc thù của đàng phân giác trong $\large \Delta ABC$ và đặc thù của sản phẩm tỉ số đều nhau tao có:

$\large \frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

$\large \Rightarrow \frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}(cm);EC=\frac{42}{11}(cm)$

2.2 Dạng bài xích tính tỉ số chừng lâu năm, tỉ số diện tích

- Phươn pháp giải: sít dụng đặc thù đàng phân giác nhập tam giác và lập tỉ trọng thức trong những đoạn trực tiếp. sít dụng kỹ năng đại số hóa hình học tập, công thức và thành phẩm chiếm được kể từ công thức tính diện tích S tam giác.

- Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ và những đàng phân giác BD và CE. Biết $\large \frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}; \frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}$

Hãy tính những cạnh của $\large \Delta ABC$ , biết $\large \Delta ABC$ có chi vi là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng đặc thù của những đàng phân giác BD và CE vào $\large \Delta ABC$ ta có:

$\large \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=4t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.(t > 0)$

$\large \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AC=5t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.$

Lại với chu vi của $\large \Delta ABC$ là 45 centimet, tao có:

AB + BC + CA = 45 = 4t + 6t + 5t = 15t

=> t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm ; CA = 15cm.

>> Xem thêm: Tổng phù hợp kỹ năng và kiến thức toán 8 cụ thể SGK mới

3. Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 công tác mới

3.1 Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 liên kết tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Trong Hình 4.24 có $\large \widehat{NPH}=\widehat{MPH}$ nên PH là tia phân giác của $\large \widehat{NPM}$

Áp dụng đặc thù đàng phân giác của tam giác, tao có:

$\large \frac{MP}{NP}=\frac{MH}{NH}\Leftrightarrow \frac{5}{x}=\frac{3}{5,1}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.5,1}{3}=8,5$

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài xích, đàng phân giác nhập của góc A rời BC bên trên D nên AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

Áp dụng đặc thù đàng phân giác của tam giác, tao có:

$\large \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{4,5}{7}=\frac{DB}{DC} \Leftrightarrow \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}$

Áp dụng đặc thù sản phẩm tỉ số đều nhau, tao có:

$\large \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}\Leftrightarrow \frac{DB+DC}{4,5+7}=\frac{BC}{11,5}=\frac{3,5}{11,5}=\frac{7}{23}$

$\large \Rightarrow DC=\frac{7.7}{23}=\frac{49}{23}\approx 2,1(m)$

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài xích, ABCD là hình vuông vắn nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ .

Vì M là trung điểm của AB

$\large \Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$

Vì AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ hoặc AI là tia phân giác của $\large \widehat{MAD}$ , vận dụng đặc thù đàng phân giác nhập $\large \Delta$ ADM, tao có:

$\large \frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}=\frac{1}{2}\Rightarrow ID=2IM$

Ta với I là vấn đề bắt gặp nhau nên Mai bám theo quãng đàng XiaoMI còn Dung bám theo quãng đàng DI.

Ta với S = v.t. Mà quãng đàng Dung lên đường cấp gấp đôi quãng đàng Mai lên đường, véc tơ vận tốc tức thời của 2 chúng ta như nhau nên thời hạn Dung lên đường đàng tiếp tục cấp gấp đôi thời hạn Mai lên đường đàng thì mới có thể bắt gặp nhau bên trên điểm I.

Dung bắt gặp Mai khi 7h30p nên thời hạn Mai lên đường bên trên quãng đàng XiaoMI là: 7h30 - 7h = 30p

Khi cơ thời hạn Dung lên đường là 1h => Thời gian tham Dung xuất phát điểm từ nhà: 7h30 - 1h = 6h30p.

Vậy dung xuất phát điểm từ khi 6h30p nhằm bắt gặp Mai khi 7h30p bên trên điểm I.

3.2 Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 chân mây sáng sủa tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tao với AD là đàng phân giác góc A nên tao có

$\large \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2,4}=\frac{5}{3}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong $\large \Delta$ EFG, tao với EH là đàng phân giác góc E nên tao có

$\large \frac{HG}{HF}=\frac{EG}{EF}\Leftrightarrow \frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

$\large \Rightarrow 12x=18(20-x)\Rightarrow x=\frac{18.20}{30}=12$

c) Trong t $\large \Delta$ PQR, tao với RS là đàng phân giác góc R nên tao có

$\large \frac{SP}{SQ}=\frac{PR}{QR}\Leftrightarrow \frac{5}{6}=\frac{10}{x}$

$\large \Rightarrow x=\frac{6.10}{5}=12$

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC với AD là đàng phân giác

$\large \Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng đặc thù sản phẩm tỉ số đều nhau, tao có:

$\large \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{40}{7}cm;BC=\frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\large \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}= \frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tao có: AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Lại có AB = 15 cm; AC = đôi mươi centimet.

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{35}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm$

$\large \Rightarrow DC=BC-DB=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm$

Xét $\large \Delta$ ABC với DE // AB, bám theo hệ trái khoáy quyết định lí Thalès, tao có:

$\large \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$

$\large \Rightarrow DE=\frac{60}{7}$

b) Xét $\large \Delta$ ABC tao có: AB = 15 centimet, AC = đôi mươi centimet, BC = 25 centimet.

Nên BC² = AB² + AC² => $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A.

Khi cơ, tao có:

$\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150cm^{2}$

Vậy diện tích $\large \Delta$ ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\large \frac{A_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

$\large \Rightarrow S_{ADB}=\frac{3}{7}.S_{ABC}=\frac{3}{7}.150=\frac{450}{7}cm$

$\large \frac{A_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25} \right )^{2}=\frac{144}{1225}$

$\large \Rightarrow S_{DCE}=\frac{144}{1225}.S_{ABC}=\frac{144}{1225}.150=\frac{864}{49}cm^{2}$

$\large \Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}$

$\large =150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Vậy $\large S_{ADB}=\frac{450}{7}cm^{2};S_{DCE}=\frac{864}{49}cm^{2};S_{ADE}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Xem thêm: tính oxi hóa là gì

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A, vận dụng quyết định lí Pythagore, tao có:

BC² = AC² + AB² => BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\large \Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}cm$

Do đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}cm$

Vậy BC = 5cm ; DB = 15/7 cm; DC = 20/7 centimet.

b. Ta có: $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\large \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}cm$

Tam giác ABH vuông bên trên H nên:

$\large HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}cm$

Ta có: HD = DB - HB = 15/7 - 9/5 = 12/35 centimet.

$\large AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Vậy AH = 12/5 cm; HD = 12/35 cm; $\large AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

• Xét $\large \Delta$ ABM với MD là đàng phân giác $\large \widehat{AMB}$

$\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

• Xét $\large \Delta$ ACM với ME là đàng phân giác $\large \widehat{AMC}$

$\large \Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, tự đó: $\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ , bám theo quyết định lí Thalès hòn đảo tao có: DE // BC.

3.3 Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Áp dụng đặc thù đàng phân giác mang đến $\large \Delta$ ABC, tao có:

AD là đàng phân giác của góc BAC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}$

=> 6BD = 4(5 – BD)

<=> 6BD = đôi mươi – 4BD <=> 6BD + 4BD = 20

<=> 10BD = 20 <=> BD = 2.

BE là đàng phân giác của góc ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{BA}\Leftrightarrow \frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}$

=> 4CE = 5(6 – CE)

<=> 4CE = 30 – 5CE <=> 4CE + 5CE = 30

<=> 9CE = 30 <=> CE = 30/9 = 10/3

CF là đàng phân giác của góc ACB

$\large \Rightarrow \frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow \frac{FA}{AB-FA}=\frac{CA}{CB}\Leftrightarrow \frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}$

=> 5AF = 6(4 – AF) <=> 5AF = 24 – 6AF

<=> 5AF + 6AF = 24 <=> 11AF = 24

<=> AF=24/11

Vậy BD = 2; CE=10/3; AF = 24/11.

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc thù đàng phân giác nhập tam giác, tao có:

BE là đàng phân giác của góc ABC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$

BD là đàng phân giác của góc ABM nhập $\large \Delta$ ABM

$\large \Rightarrow \frac{DM}{DA}=\frac{BM}{BA}$

Mà BC = 2BM (do AM là đàng trung tuyến của $\large \Delta$ ABC)

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=2\frac{BM}{BA}=2\frac{DM}{DA}$

Vậy $\large \frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

AD là đàng phân giác của góc BAC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

AE là đàng phân giác của góc BAG nhập $\large \Delta$ ABG

$\large \Rightarrow \frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}$

Vậy $\large \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}$

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đàng phân giác của góc BAC.

Xét $\large \Delta$ AMD với AN là đàng phân giác góc MAD

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{AM}$

Hay $\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AB}$ (vì AB = 3AM)

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AB}{\frac{1}{3}AB}=3$

Vậy ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) Xét tam giác ABC vuông bên trên A, bám theo quyết định lí Pythagore, tao có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy đi ra BC = 5.

Do AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAC}$ , bám theo đặc thù đàng phân giác nhập tam giác, tao có:

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

Do cơ 4DB = 3(5 – DB) <=>4DB = 15 – 3DB

<=> 4DB + 3DB = 15 <=> 7DB = 15 <=> DB = 15/7

Khi đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy BC = 5; DB = 15/7 ; DC = 20/7.

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy đi ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ trái khoáy của quyết định lí Thalès nhập tam giác ABC với DH // AB, tao có:

$\large \frac{DH}{BA}=\frac{CD}{CB} \Leftrightarrow \frac{DH}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

$\large \Rightarrow DH=\frac{3\frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách kể từ điểm D cho tới đường thẳng liền mạch AC là DH=12/7.

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, tao có:

$\large \frac{AH}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (hệ trái khoáy của quyết định lí Thalès)

$\large \Rightarrow \frac{AH}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5}\Rightarrow AH=\frac{4.\frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông bên trên H, tao có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

$\large \Rightarrow AD^{2}=\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}=\frac{288}{49}$

$\large \Rightarrow AD=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144.2}{49}}=\sqrt{\left ( \frac{12\sqrt{2}}{7} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc thù đàng phân giác nhập nhị tam giác ACD và BCD, tao có:

AE là đàng phân giác của góc CAD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{AC}{AD}(1)$

BE là đàng phân giác của góc CBD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{BC}{BD}(2)$

Từ (1) và (2)

$\large \Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Trên đó là những kỹ năng và kiến thức về tính hóa học đàng phân giác của tam giác lớp 8 nhập công tác toán 8 liên kết trí thức, chân mây tạo ra và cánh diều. Hình như VUIHOC chỉ dẫn những em cơ hội giải những bài xích tập luyện nhập sách giáo khoa. Truy cập anhnguucchau.edu.vn nhằm update thêm thắt nhiều kỹ năng và kiến thức toán 8 hữu ích nhé những em!

>> Mời chúng ta tìm hiểu thêm thêm:

Xem thêm: góc đồng vị là gì

Hình thoi và hình vuông

Định lí Thalès nhập tam giác

Đường khoảng của tam giác

tính chất đường pg trong tam giác