hệ thức lượng trong tam giác thường

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tớ có:

Bạn đang xem: hệ thức lượng trong tam giác thường

Quảng cáo

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh tự tổng những bình phương của nhì cạnh còn sót lại trừ cút nhì chuyến tích của nhì cạnh cơ nhân với \(cosin\) của góc xen thân thiện bọn chúng.

Ta sở hữu những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của lăm le lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính phỏng lâu năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) sở hữu những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là phỏng lâu năm những lối trung tuyến theo thứ tự vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số thân thiện một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ tự 2 lần bán kính của lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

Xem thêm: ngành bưu chính nước ta hiện nay

với \(R\) là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem bám theo một trong những công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, bk lối tròn trĩnh nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nguyên tố (góc, cạnh) không biết của tam giác khi vẫn biết một vài nguyên tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết thám thính nguyệt lão tương tác trong số những góc, cạnh vẫn mang đến với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và đã được nêu vô lăm le lí cosin, lăm le lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng lăm le lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng lăm le lí cosin nhằm tính cạnh loại tía. 

Sau cơ sử dụng hệ trái ngược của lăm le lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tớ dùng hệ trái ngược của lăm le lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: toán lớp 4 trang 120

1. Cần chú ý là 1 trong những tam giác giải được khi tớ biết 3 nguyên tố của chính nó, vô cơ cần sở hữu tối thiểu một nguyên tố phỏng lâu năm (tức là nguyên tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.