nguyên hàm của ln x

Nguyên hàm In x là dạng bài xích tập luyện khiến cho nhiều học viên bị mất mặt điểm. Vì vậy nhằm ăn đầy đủ điểm bài xích tập luyện phần này những em cần thiết tóm có thể toàn cỗ công thức gần giống rèn luyện thiệt nhiều dạng khác nhau bài xích tập luyện. Hãy tìm hiểu thêm ngay lập tức nội dung bài viết tiếp sau đây nhằm vẫn tồn tại điểm phần này nhé!

1. Khái niệm vẹn toàn hàm lnx

Ta với hàm số $f(x)$ xác lập bên trên K. Hàm số $f(x)$ đó là vẹn toàn hàm của hàm số $f(x)$ bên trên K nếu như $f'(x)=f(x)$ với $x\in K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ tiến hành tính như sau:

Bạn đang xem: nguyên hàm của ln x

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x}dx\\v=x \end{matrix}\right.$

Ta có $\int lnxdx=xlnx-\int dx'=xlnx-x+C$

2. Bảng công thức vẹn toàn hàm của ln(x)

Ta với bảng công thức nguyên hàm In x và một vài vẹn toàn hàm cơ phiên bản thông thường gặp gỡ.

Bảng vẹn toàn hàm Inx và một vài vẹn toàn hàm cơ bản

3. Cách tính vẹn toàn hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với $\int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, vô cơ a, b, c là những số vẹn toàn. Tính S=a+b=c.

Giải:

Đặt  $\left\{\begin{matrix}u=ln(x+1)\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x+1}dx\\v=x+1 \end{matrix}\right.$

Lúc này tớ có:

$\int_{1}^{2}ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.-\int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy: a=3; b=-2; c=-1

$\Rightarrow$ S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm vẹn toàn hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$

Giải: 

B=$\int x^{2}lnxdx=\int lnxd(\frac{x^{3}}{3})$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.d(lnx)$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.\frac{dx}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+C$

Nắm đầy đủ kiến thức và kỹ năng về vẹn toàn hàm và những kiến thức và kỹ năng Toán đua trung học phổ thông Quốc Gia không giống với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm vẹn toàn hàm J=$\int \frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$

Giải:

Ta có: J=$\int \frac{lnx+1}{x(\frac{lnx+1}{x}+1)}^{3}.\frac{lnx}{x^{2}}dx$

Đặt t=$\frac{lnx+1}{x}\Rightarrow dt=\frac{lnx}{x^{2}}dx \Rightarrow J=\int \frac{tdt}{(t+1)^{3}}=\int [\frac{1}{(t+1)^{3}}-\frac{1}{(t+1)^{2}}]dt$

=$-\frac{1}{2(t+1)^{2}}+\frac{1}{t+1}+C$

=$-\frac{x^{2}}{2(lnx+1+x^{2})}+\frac{x}{lnx+x+1}+C$

Ví dụ 2: Tìm vẹn toàn hàm của:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x\\dv=2^{x}dx\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=dx\\v=\frac{2^{x}}{ln2}. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Ta có: $\int x2^{x}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\int \frac{2^{x}}{ln2}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\frac{2^{x}}{ln^{2}2}+C$

b) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-1\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2xdx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Suy rời khỏi tớ có $\int f(x)dx=(x2-1)ex-\int 2x.ex$ dx

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=2x\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2dx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Ví dụ 3: Tìm toàn bộ những vẹn toàn hàm của hàm số $f(x)=(3x^{2}+1).lnx$

A. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1)lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

B. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

C. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

D. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

Giải:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=(3x^{2}+1)dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x}dx\\v=\int (3x^{2}+1)dx=x^{3}+x \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=(x^{3}+x)lnx-\int (x^{3}+x)\frac{1}{x}dx=x(x^{2}+1)lnx-\int (x^{2}+1)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C.$

=> Đáp án C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Bất phương trình $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm chính với từng số thực khi?

Giải:

Giải Việc vẹn toàn hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 2: Tính vẹn toàn hàm:

a) $\int 2xln(x-1)dx$

b) $\int \frac{ln(x+1)}{x^{2}}$

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(x-1)\\dv=2xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x-1}dx\\v=x^{2}-1 \end{matrix}\right.$

Ta có $\int 2xln(x-1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\frac{x^{2}}{2}-x+C$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{(1+x)}dx\\v=-\frac{1}{x}-1=-\frac{1+x}{x} \end{matrix}\right.$

=> $F(x)=-\frac{1+x}{x}.ln(1+x)+\int \frac{1}{x}dx$

= $-\frac{1+x}{x}ln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tìm vẹn toàn hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$

Giải:

Tính vẹn toàn hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 2:

Cho $\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là những số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=$\frac{3}{2}$

B. P=0

C. P=$\frac{-9}{2}$

D. P=-3

Giải:

Ta với I=$\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$

Xem thêm: tiếng anh lớp 5 tập 1 unit 1 lesson 3

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{1+x}dx\\v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$

Khi cơ I=$-\frac{1}{x}ln(1+x)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.+\int_{1}^{2}\frac{1}{x(1+x)}dx=-\frac{1}{2}ln3+ln2+\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx$

=$-\frac{1}{2}ln3+ln2+(ln\frac{x}{x+1})\left|\begin{matrix}2\\1 \end{matrix}\right.=-\frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-\frac{3}{2}ln3$

Suy rời khỏi a=3, b=$-\frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=\frac{-9}{2}$

Chọn đáp án C.

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ mất mặt gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo gót sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks canh ty tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không tính tiền ngay!!

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)x

Giải:

Ta có: 

y’= $-\frac{1}{x^{2}}+\frac{ln(x)'x-ln(x)'x}{x^{2}}$

=$-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1+ln(x)}{x^{2}}=-\frac{ln(x)}{x^{2}}$

Ví dụ 2:

Giả sử tích phân I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx$=a+bln3+cln5. 

Lúc đó:

A. $a+b+c=\frac{5}{3}$

B. $a+b+c=\frac{4}{3}$

C. $a+b+c=\frac{7}{3}$

D. $a+b+c=\frac{8}{3}$

Giải:

Đặt t = $\sqrt{3x+1}\Rightarrow dx=\frac{2}{3}tdt$

Đổi cận

Ta với I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx=\int_{1}^{4}\frac{1}{1+t}.\frac{2}{3}tdt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}\frac{t}{t+1}dt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}(1-\frac{1}{t+1})dt=\frac{2}{3}(t-ln|1+t|)\left|\begin{matrix}4\\2 \end{matrix}\right.=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}ln3-\frac{2}{3}ln5$

Do đó $a=\frac{4}{3};b=\frac{2}{3};c=-\frac{2}{3}$

Vậy $a+b+c=\frac{4}{3}$

=> Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Biết tích phân $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=a+bln2+cln2$, với a, b, c là những số vẹn toàn. Tính T=a+b+c

A. T=-1

B. T=0

C. T=2

D.T=1

Giải:

Đặt t=$\sqrt{e^{x}+3}\Rightarrow t^{2}=e^{x}+3\Rightarrow 2tdt=e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x=ln6\\x=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
t=3\\t=2 \end{matrix}\right.$

Suy ra $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=\int_{2}^{3}\frac{2tdt}{1+t}dt=(2t-2ln|t+1|)\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$(6-2ln4)-(4-2ln3)=2-4ln2+2ln3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\\c=2 \end{matrix}\right.$

Vậy T=0

=> Chọn đáp án B

3.6. Tính vẹn toàn hàm của ln(lnx)/x

Tính vẹn toàn hàm $I=\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$ được thành quả này sau đây?

Ví dụ 1: Tính vẹn toàn hàm của hàm số  I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$

Giải:

Đặt lnx=t => dt = $\frac{dx}{x}$

Suy rời khỏi I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx=\int lntdt$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnt\\dv=dt \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{dt}{t}\\v=t \end{matrix}\right.$

Theo công thức tính vẹn toàn hàm từng phần tớ có:

I=$tlnt-\int dt=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx=aln3+bln2+\frac{c}{3}$ với a, b, c $\in Z$. Khẳng lăm le này tại đây chính.

A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$

C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$

D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Giải:

Ta với I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx, bịa đặt lnx+2=t => \frac{dx}{x}=dt$

I=$\int_{2}^{3}\frac{t-2}{t^{2}}dt=\int_{2}^{3}\frac{1}{t}dt-2\int_{2}^{3}\frac{1}{t^{2}}dt$

=$lnt\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.+\frac{2}{t}\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$ln3-ln2+\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=ln3-ln2-\frac{1}{3}$

Suy rời khỏi a=1;b=-1;c=-1

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{3}=3$

Bên cạnh cơ, thầy Trường Giang đã với bài xích giảng rất rất hoặc về vẹn toàn hàm tích phân với mọi tip giải bài xích tập luyện rất rất hữu ích nhằm giải đề đua trung học phổ thông Quốc gia. Các em nằm trong coi vô đoạn phim tiếp sau đây nhé!

Nắm đầy đủ bí mật đạt 9+ đua Toán chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Xem thêm: giấm ăn là dung dịch axit axetic có nồng độ

Sau nội dung bài viết này, kỳ vọng những em tiếp tục tóm có thể được toàn cỗ lý thuyết, công thức về vẹn toàn hàm Inx, kể từ cơ áp dụng hiệu suất cao vô bài xích tập luyện. Để đạt thêm nhiều kiến thức và kỹ năng hoặc em rất có thể truy vấn ngay lập tức Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc contact trung tâm tương hỗ để sở hữu được kiến thức và kỹ năng cực tốt sẵn sàng cho tới kỳ đua ĐH tới đây nhé!

>> Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân từng phần và ví dụ minh họa
  • Đầy đầy đủ và cụ thể bài xích tập luyện phương trình logarit với tiếng giải
  • Tuyển tập luyện lý thuyết phương trình logarit cơ bản