Cách giải phương trình bậc 2

A. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình với dạng ax²+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi tìm kiếm những độ quý hiếm của x sao cho tới khi thay cho x nhập phương trình (1) thì thỏa mãn nhu cầu ax²+bx+c=0.

Bạn đang xem: cách giải phương trình bậc 2

B. Giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b²-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
Δ = 0 => phương trình (1) với nghiệm kép $x_{1} =x_{2} = - \frac{b}{2a}$
Δ > 0 => phương trình (1) với 2 nghiệm phân biệt, tớ người sử dụng công thức nghiệm sau:

$x_{1} =\frac{-b+\sqrt{\triangle } }{2a}$ và $x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\triangle } }{2a}$

C. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai

D. Sử dụng Hệ thức Vi – et

Định lí Vi – ét

Nếu $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ thì $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

Định lí Vi - et đảo

Nếu nhị số $x_{1};x_{2}$ có $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - Sx + P.. = 0$ , ( $x_{1};x_{2}$ tồn tại thời điệm $S^{2} - 4P \geq 0$ )

E. Ví dụ giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhị sau: $x^{2} - 49x - 50 = 0$

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = -49; c = -50)

$\begin{matrix} \Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 \\ \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 51 \\ \end{matrix}$

Do ∆ > 0 nên phương trình với nhị nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- ( - 49) - 51}{2} = - 1 \\x_{2} = \dfrac{- ( - 49) + 51}{2} = 50 \\\end{matrix} \right.$

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Do a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Nên phương trình với nhị nghiệm $\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 50 \\ \end{matrix} \right.$

Cách 3: $\Delta = ( - 49)^{2} - 4.1.( - 50) = 2601 > 0$

Theo quyết định lí Vi – et tớ có:

$\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = 49 = ( - 1) + 50 \\ P = x_{1}.x_{2} = - 50 = ( - 1).50 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình với nhị nghiệm: $\left\{\begin{matrix}x_{1} = - 1 \\x_{2} = - \dfrac{- 50}{1} = 50 \\\end{matrix} \right.$

Ví dụ 2: Giải phương trình 4x²- 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)²- 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đang được cho tới với 2 nghiệm phân biệt.

$x_{1} =\frac{-(-2)+\sqrt{100} }{2.4} =\tfrac{3}{2}$ và $x_{2} = \frac{-(-2)-\sqrt{100} }{2.4} =-1$

Bạn cũng hoàn toàn có thể nhẩm Theo phong cách nhẩm nghiệm nhanh chóng, vì thế nhận ra 4-(-2)+6=0, nên x₁ = -1, x₂ = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn kiểu như phía trên.

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x²- 7x + 3 = 0 (3)

Xem thêm: đường lối đổi mới của đảng cộng sản việt nam từ tháng 12 năm 1986 có nội dung nào sau đây

Tính Δ = (-7)²- 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) với 2 nghiệm phân biệt:

$x_{1} =\frac{-(-7)+\sqrt{25} }{2.2} = 3$ và $x_{1} =\frac{-(-7)-\sqrt{25} }{2.2} = \frac{1}{2}$

Để đánh giá coi các bạn đang được tính nghiệm đúng không ạ rất dễ dàng, chỉ việc thay cho theo lần lượt x₁, x₂ nhập phương trình 3, nếu như rời khỏi thành phẩm vày 0 là chuẩn chỉnh. Ví dụ thay cho x₁, 2.3²-7.3+3=0.

Ví dụ 4: Giải phương trình 3x² + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 2²- 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình x² – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = (-4)²- 4.4.1 = 0 => phương trình (5) với nghiệm kép:

$x_{1} =x_{2} =\frac{-(-4)}{2.1} =2$

Thực rời khỏi nếu như nhanh chóng ý, các bạn cũng hoàn toàn có thể coi rời khỏi phía trên đó là hằng đẳng thức kỷ niệm (a-b)²= a²- 2ab + b² nên đơn giản và dễ dàng ghi chép lại (5) trở nên (x - 2)²= 0 <=> x=2.

F. Phân tích nhiều thức trở nên nhân tử

Nếu phương trình (1) với 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂, khi nào là các bạn cũng hoàn toàn có thể ghi chép nó về dạng sau: ax²+ bx + c = a(x-x₁)(x-x₂) = 0.

Trở lại với phương trình (2), sau thời điểm mò mẫm rời khỏi 2 nghiệm x1, x2 bạn cũng có thể ghi chép nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Giải phương trình bậc nhị chứa chấp tham ô số

1. Phương trình với nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$

2. Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0$

3. Phương trình với nghiệm có một không hai (Nghiệm kép hoặc nhị nghiệm vày nhau) $\Leftrightarrow \Delta = 0$

4. Phương trình với nhị nghiệm phân biệt (khác nhau) $\Leftrightarrow \Delta > 0$

5. Phương trình với nhị nghiệm nằm trong lốt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.$

6. Phương trình với nhị nghiệm ngược lốt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow a.c < 0$

7. Phương trình với nhị nghiệm dương (Hai nghiệm to hơn 0) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ \begin{matrix} S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

8. Phương trình với nhị nghiệm âm (Hai nghiệm nhỏ rộng lớn 0) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ \begin{matrix} S < 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

9. Phương trình với nhị nghiệm đối nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ S = 0 \\ \end{matrix} \right.$

10. Hai nghiệm nghịch ngợm hòn đảo nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ P = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Xem thêm: khối đa diện được bao bởi

Điều cần thiết ghi nhớ: $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

Đi ngay lập tức với phương trình bậc 2 còn tồn tại quyết định lý Vi-et với thật nhiều phần mềm như tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 đang được trình bày phía trên, mò mẫm 2 số lúc biết tổng và tích, xác lập lốt của những nghiệm, hoặc phân tách trở nên nhân tử. Đây đều là những kỹ năng và kiến thức quan trọng tiếp tục nối liền với các bạn nhập quy trình học tập đại số, hoặc những bài xích tập luyện giải và biện luận phương trình bậc 2 về sau, nên cần thiết ghi ghi nhớ kỹ và thực hành thực tế cho tới thuần thục.

Nếu với ý muốn theo dõi học tập lập trình sẵn, các bạn cũng cần phải có những kỹ năng và kiến thức toán cơ bạn dạng, thậm chí là kỹ năng và kiến thức toán nâng cao, tùy nằm trong nhập dự án công trình các bạn sẽ thực hiện.