công thức cấp số nhân

Cấp số nhân là phần kỹ năng và kiến thức cần thiết nhập lịch trình toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài bác tập luyện thì những em cần thiết ghi ghi nhớ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài bác tập luyện cung cấp số nhân qua chuyện nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là 1 mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhị, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với một trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cung cấp số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: công thức cấp số nhân

u_{n} là cung cấp số nhân với \Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1} với n \in N^{\ast }

Ví dụ: Dãy số (u_{n}), với u_{n}=3^{n} là 1 cung cấp số nhân với số hạng đầu u_{1}=3 và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cung cấp số nhân un có 

Công bội q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân u_{1}=3,u_{2}=9. Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân u_{3}=8,u_{4}=16 . Tính công bội q

Ta có: 

q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2

3. Tính hóa học cung cấp số nhân

  • $(u_{n})$ là 1 cung cấp số nhân thì kể từ số hạng loại nhị, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cung cấp số nhân hữu hạn) tiếp tục vì chưng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}

  • Nếu một cung cấp số nhân un với số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát tháo un sẽ tiến hành tính vì chưng công thức:

u_{n}=u_{1}.q^{n-1}

Ví dụ : Cho cung cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy lần u4

Lời giải: 

Ta có: u2= u. u= 3

          u3= u. u4

Từ (1) bởi u2  > 0 ( vì như thế u1=1 > 0 và q > 0)

\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}

  • Khi q = 0 thì mặt hàng với dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1 

  • Khi q = 1 thì mặt hàng với dạng u1;u1;u1;...;u1;... và Sn=nu1.

  • Khi u= 0 thì với từng q, cung cấp số nhân với dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.

Đăng ký tức thì nhằm được trao hoàn toàn cỗ kỹ năng và kiến thức về cung cấp số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cung cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

  • Tính q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1

  • Kết luận: 

  • Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng un là cung cấp số nhân

  • Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng un ko là cung cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cung cấp số nhân với số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải: 

Ta với 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un với số hạng loại nhị là 10 và số hạng loại năm là 1250.

  1. Tìm số hạng loại nhất

  2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

  1. Đặt r là công bội của cung cấp số nhân.

 Ta có: r(5-2) = r3 hoặc r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ cơ r = 5. 

\Rightarrow u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

  1. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang đến cung cấp số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}. Dãy số Un bên trên là cung cấp số nhân đích hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: \frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const không tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (Un) là 1 cung cấp số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt3

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cung cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc điểm của CSN, đổi khác nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân Un với U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2

Ví dụ 2: Cho cung cấp số nhân Un với U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tớ có: 

q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2

Ví dụ 3: Đề mang đến tía số x,y,z lập trở thành một cung cấp số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở thành một cung cấp số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cung cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở thành một cung cấp số nằm trong \Rightarrow x+3z=4y

Giải Việc công thức cấp số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cung cấp số nhân

Phương pháp:

Để lần số hạng của cung cấp số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát tháo Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u1 và q  của cung cấp số nhân biết: 

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.

Lời giải: 

Ta biến hóa đổi: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.

\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12

Vậy cung cấp số nhân (un) với u1 = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài mang đến cung cấp số nhân (un) với u= 8 , u= 32. Số hạng loại 10 của cung cấp số nhân cơ là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cung cấp số nhân (un), tớ với q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2

Với q = 2, tớ với u10 = u. q= 8 . 2= 1024

Với q = -2, tớ với u10 = u. q7= 8 . (-2)= -1024

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân (un), hiểu được số hạng thứ nhất u= 3, công bội là 2. Hãy lần số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tớ với : u= u. qn–1

\Leftrightarrow u= u. q=3 . 2= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cung cấp số nhân của n số hạng thứ nhất nhập dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng thứ nhất nhập mặt hàng - công thức cấp số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cung cấp số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(un) với u1=2 và q = 3. 

13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}

Ví dụ 2: Bài mang đến cung cấp số nhân (un) với

(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.

  1. 5 số hạng đầu của cung cấp số nhân bên trên là gì? 

  2. 10 số hạng đầu của cung cấp số nhân (un) bên trên với tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Giải bài bác tập luyện vận dụng công thức cấp số nhân

Ví dụ 3: Cho cung cấp số nhân Un thỏa mãn: u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}

  1. Dãy số là cung cấp số nhân là đích hoặc sai?

  2. Tính S = u+ u+ u6... + u20

Lời giải: 

  1. Ta có: \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const ko tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (Un) là 1 cung cấp số nhân với số hạng đầu u_{1}=3\sqrt{3} và công bội là q=\sqrt{3}

  2. Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập trở thành một cung cấp số nhân với số hạng đầu là u= 9, q = 3 

\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác quyết định những bộ phận cấu trúc nên một cung cấp số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q tiếp sau đó suy đi ra được công thức mang đến số hạng tổng quát tháo .

Ví dụ 1: CSN (un) như sau, lần u1 khi:

u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}

Mà u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9

Lời giải: 

\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.

\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}

\Leftrightarrow Ta với q = 3 hoặc q = \frac{1}{3}

Khi cơ lượt lượt u_{1} = \frac{81}{11} hoặc u_{1} = \frac{1}{11}

Xem thêm: tờ tự kiểm học sinh

Ví dụ 2: Dãy số này là cung cấp số nhân: 

  1. 1;0,2;0,04;0,008;...

  2. 1,22,222,2222,...

  3. X,2x,3x,4x,...

  4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tớ có: 

u= 1, u= u. 0,2, u= u. (0,2)2, u= u. (0,2)3

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ chứng tỏ được u= (0,2)n

Khi cơ \frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2 ko đổi

Vậy mặt hàng số là cung cấp số nhân với công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cung cấp số nhân (un) cần thiết lần với công bội q, số hạng thứ nhất un.

Ta có: s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}

s5' = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

= q . (u+ u+ u+ u+ u5)

= q . S5

Mà S= 31; S5' = 62

\Rightarrow q=2

u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1

Vậy cung cấp số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32

Nắm hoàn toàn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài bác tập luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cung cấp số nhân (un) với công bội q thỏa mãn nhu cầu -1 < q <1 thì cung cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S= u1(1 - qn)(1 - q) = u1(q- 1)(q - 1)

 Trong cơ sn là tổng n số hạng thứ nhất của cung cấp số nhân (un)

Ví dụ: \frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243} là một cung cấp số nhân lùi vô hạn q=\frac{1}{3}

5.2. Bài toán tổng của cung cấp số nhân lùi hạn

Đề bài bác mang đến cung cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ với tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...

Lời giải:

Đây là tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn với u_{1}=1, q=\frac{-1}{3} nên 

S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}

Ví dụ 2: Biểu thao diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}

Vậy 0,777...=\frac{7}{9}

Ví dụ 3: Tổng của một cung cấp số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng tía số hạng thứ nhất của mặt hàng số là \frac{39}{25}. Xác quyết định (u1), q của cung cấp số đó?

Lời giải: 

Giải Việc vận dụng công thức cấp số nhân

6. Một số bài bác tập luyện cung cấp số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cung cấp số nhân un với công bội q

a) hiểu u= 2, u6 = 486. Tìm q

b) hiểu q= \frac{2}{3}, u_{4} = \frac{8}{21}. Tính u1

c) hiểu u1 = 3, q = -2. Xác quyết định số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cung cấp số nhân?

Lời giải: 

Áp dụng công thức un = u1.qn-1

a) Theo công thức bên trên tớ có: u6 = u1.q5 \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3

b) Theo công thức tớ có: u4 = u1.q3 \Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}

c) Theo công thức tớ có: 12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cung cấp số nhân (un) biết cung cấp số nhân bao gồm với 5 số hạng và:

a) TH1: u= 3 , u= 27

b) TH2: u– u2 = 25 ,  u3 – u1 = 50

Lời giải: 

a) Theo công thức un = u1.qn - 1 ta với theo lần lượt những số hạng u3 và u5 được tính như sau:

u3 = u1.q2 \Rightarrow 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 \Rightarrow 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) và (2) tớ hoàn toàn có thể suy đi ra được

q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tớ với u_{1} = \frac{1}{3} ta với cung cấp số nhân theo lần lượt là: \frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27

Với q = -3 tớ với u_{1} = -\frac{1}{3} ta với cung cấp số nhân theo lần lượt là: \frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27​​​​​​​​​​​​​​

b) Theo đề bài bác đi ra tớ có:

\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.

Thay (2) nhập phương trình (1) tớ với 50.q = 25 \Leftrightarrow q = \frac{1}{2}

\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}

Vậy tớ với cung cấp số nhân như sau:

-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân với sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu vì chưng 31, kể từ cơ tớ suy ra:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

\Rightarrow u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

\Rightarrow u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau  vì chưng 62 kể từ cuộc suy ra

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S5 = 31 = \frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1

Vậy tớ với cung cấp số nhân theo đòi đề bài bác là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân sinh của tỉnh x là 1 trong,4%. hiểu rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc này là 1 trong,8 triệu con người, chất vấn với nấc tăng lương bổng vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ lúc này là N 

Sau 1 năm dân sinh tăng là 1 trong,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh cơ sau hàng năm lập trở thành một cung cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác mang đến un với những số hạng 0, tìm  u1 biết:

u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}. Mà u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9

Lời giải: 

Giải Việc vận dụng công thức cấp số nhân

Tham khảo tức thì một trong những dạng bài bác tập luyện thương gặp gỡ về cung cấp số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng trong suốt lộ trình học tập kể từ tổn thất gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks hùn tăng cường thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test free ngay!!

Xem thêm: silic là kim loại hay phi kim

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác tập luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo nhằm học tập và ôn tập luyện kỹ năng và kiến thức Toán 11 phục vụ ôn đua trung học phổ thông QG tức thì kể từ ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

  • Tổng hợp ý những công thức cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân & bài bác tập
  • Cấp số nằm trong là gì? Công thức cung cấp số nằm trong và bài bác tập
  • Xác suất của biến hóa cố
  • Giới hạn của mặt hàng số