Lý Thuyết Nhị Thức Niu Tơn Kèm Các Dạng Toán Có Đáp Án

Nhị thức niu tơn là một trong mục chính cần thiết nhập đề đua lớp 11 rưa rứa THPTQG. Bài ghi chép này sẽ hỗ trợ học viên tóm vững chắc lý thuyết và dạng bài xích tập dượt về: tìm hiểu thông số nhập khai triển, tìm hiểu số hạng nhập khai triển, tính tổng, rút gọn gàng biểu, chứng tỏ biểu thức, giải phương trình, bất phương trình chỉnh phù hợp tổng hợp trải qua những ví dụ.

1. Lý thuyết nhị thức niu tơn

1.1. Định lý khai triển nhị thức niu tơn

Trong công tác toán giải tích lớp 11 vẫn học tập, khai triển nhị thức niu tơn(ngắn gọn gàng là ấn định lý nhị thức) là một trong ấn định lý toán học tập về sự việc khai triển hàm nón của tổng. Định lý khai triển một nhị thức bậc n trở nên một nhiều thức đem n+1 số hạng:

Bạn đang xem: công thức nhị thức newton

$\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

Có $\left ( C_{k}^{n} \right )$ là số tổng hợp chập k của n thành phần ( $0\leqslant k\leqslant n$ ). Ta đem ấn định lý, số những tổng hợp chập k của n thành phần vẫn mang lại như sau:

$\left ( C_{k}^{n} \right )=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}$

1.2. Công thức nhị thức niu tơn

1.2.1. Định lý

Với $\forall n\epsilon N^{*}$ với cặp số (a,b) tớ có:

Định lý nhị thức niu tơn lớp 11

1.2.2. Hệ quả

$\left (1+x\right)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+x^{n}C_{n}^{x}$

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô ôn tập dượt và kiến thiết suốt thời gian ôn đua trung học phổ thông môn Toán vững vàng vàng

2. Các dạng toán nhị thức niu tơn

2.1. Cách tìm hiểu thông số nhập khai triển và tìm hiểu số hạng nhập khai triển

Với dạng toán này, những em hãy dùng số hạng tổng quát lác (số hạng loại k+1) của khai triển. Tiếp theo đòi thay đổi nhằm tách riêng biệt phần đổi thay và phần thông số, tiếp sau đó phối hợp đề bài xích nhằm xác lập chỉ số k. Lưu ý số hạng bao gồm thông số + phần đổi thay.

2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cơ hội tìm hiểu thông số nhập khai triển

VD1: Hệ số của $x^{31}$ nhập khai triển $\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

$\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{k}\left ( \frac{1}{x^{2}} \right )^{40-k}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}$

Hệ số của x³¹ là $C_{40}^{k}$ với k vừa lòng ĐK 3k - 80 = 31 ⇔ k=37

Vậy thông số của $x^{31}$ là $C_{40}^{37} = 9880$

VD2: Hệ số của x³ nhập khai triển nhị thức niu tơn $\left ( x^{2}+\frac{2}{x} \right )^{12}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

$(x^{2} + \frac{2}{x})^{12} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}(x^{2})^{12 - k}.(\frac{2}{x})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{24-3k}$

Ta có: 24 - 3k = 3 $\Leftrightarrow$ k = 7

Vậy thông số x³ trong khai triển là a₃ = $C_{12}^{7}.2^{7} = 101376$

2.1.2. Ví dụ về phong thái tìm hiểu số hạng nhập khai triển

VD1: Tìm số hạng không tồn tại x nhập khai triển của nhị thức sau: $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ ; $x\neq 0$

Lời giải:

Số hạng tổng quát lác nhập khai triển $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ là $C_{12}^{k}x^{12-k}\frac{1}{x}^{k}=C_{12}^{k}x^{12-2k}$

Số hạng không tồn tại x ứng với k vừa lòng 12 - 2k = 0 ⇔ k=6

=> số hạng ko chứa chấp x là $C_{12}^{6}=924$

VD2: Số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển: $\left ( x-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )^{n}$ biết $A_{2}^{n}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6$

Lời giải:

$A_{2}^{n} = C_{n}^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} + 4n + 6 \Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n-1)}{2!} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n = 12$

Theo khai triển nhị thức Newton thì

$(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k}.(\frac{2}{\sqrt{x}})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}2^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k - \frac{k}{2}}$

Ta xét phương trình:

$12 - k - \frac{k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 8$

Vậy tớ hoàn toàn có thể Kết luận số hạng ko chứa chấp x nhập khai triển $(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n}$ là:

$a_{0} = (-1)^{8}.2^{8}C_{12}^{8} = 126720$

VD3: Tìm số hạng chứa chấp $x^{\frac{10}{3}}$ nhập khai triển của nhị thức niu tơn của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

$(x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{2}})^{10} = \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x\sqrt[3]{x})^{10-k}.(\frac{2}{x^{2}})^{k}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x^{\frac{4}{3}})^{10-k}.\frac{2^{k}}{x^{2k}}$

$= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}.2^{k}.C_{10}^{k}.x^{\frac{4}{3}(10-k) - 2k}$

Ta xét phương trình $\frac{4}{3}(10-k) - 2k = \frac{10}{3} \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{\frac{10}{3}}$ trong khai triển của nhị thức Newton của $\left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}$ là:

$a_{\frac{10}{3}} = (-1)^{3}.2^{3}.C_{1}^{3}0x^{\frac{10}{3}} = -960x^{\frac{10}{3}}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks chung bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không tính tiền ngay!!

2.2. Rút gọn gàng đẳng thức, chứng tỏ biểu thức

Phương pháp:

Nhận xét việc kể từ tê liệt lựa chọn hàm số phù phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thông thường tớ hoặc dùng những hàm cơ phiên bản $\left ( x+1 \right )^{n},\left ( 1+x \right )^{n},\left ( 1-x \right )^{n},\left ( x-1 \right )^{n}$ .
Khai triển nhị thức một vừa hai phải tìm kiếm ra và dùng những luật lệ thay đổi đại số, giải tích để sở hữu được dạng phù phù hợp với đề bài xích.
Chọn độ quý hiếm của x mang lại thích hợp để sở hữu được biểu thức như nhằm bài xích Thông thưởng tớ lựa chọn x là những số 1 hoặc -1 (cũng hoàn toàn có thể $\pm 2,\pm 3$ ...).

Vậy tớ dành được tổng hoặc mệnh đề rất cần được chứng tỏ.

2.2.1. Ví dụ về rút gọn gàng đẳng thức

VD1: Tính tổng: $S=C_{3030}^{0}-2C_{3030}^{1}+2^{2}C_{3030}^{2}-2^{3}C_{3030}^{3}+...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Lời giải:

Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11 với a = 1, b= -2 tớ được:

$\left(1-2\right)^{3030}=C_{3030}^{0}1^{3030}-2C_{3030}^{1}1^{3029}+2^{2}C_{3030}^{2}1^{3028}-...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Xem thêm: đề thi toán thpt 2022

VD2: Rút gọn gàng biểu thức sau:

$A= 2.1C_{n}^{2}-3.2C_{n}^{3}+...+n(n-1)(-1)C_{n}^{n}$

Lời giải:

a) Ta có:

$(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1}x + C_{n}^{2}x^{2} - C_{n}^{3}x^{3} +...+ (-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n} (1)$

Ta lấy đạo hàm bậc nhị theo đòi x cả nhị vế của phương trình (1) tớ được:

$-n(1 - x)^{n - 1} = -C_{1}^{n} + 2C_{n}^{2}x - 3C_{n}^{3}x^{2} + ...+ n(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 1}$

$n(n - 1)(1 - x)^{n - 2} = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}x + ...+ n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 2} (2)$

Thay x = 1 nhập phương trình (2) tớ được:

$0 = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}+...+n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n} \Leftrightarrow A = 0$

2.2.2. Ví dụ chứng tỏ biểu thức

VD1: Chứng minh rằng: $C_{2001}^{0}+3^{2}C_{2001}^{2}+...+3^{2000}C_{2001}^{2000}=2^{2000}(2^{2001}-1)$

Lời giải:

$\left ( 1+x \right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}$

Cho n = 2001 và x = 3 tớ được:

$4^{2021}=C_{2021}^{0}+3C_{2021}^{1}+...+3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (1)

Cho n = 2001 và x = -3 tớ được:

$-2^{2021}=C_{2021}^{0}-3C_{2021}^{1}+...-3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (2)

(1) + (2) vế theo đòi vế tớ được:

$\frac{1}{2}\left ( 4^{2021}-2^{2021}\right )=2^{2000}\left ( 2^{2021}-1 \right )=C_{2021}^{0}+3^{2}C_{2021}^{2}+...+3^{2000}C_{2021}^{2000}$

Điều cần triệu chứng minh

VD2: Chứng minh rằng:

$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...=2^{n-1}$

Lời giải:

Ta có: $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0}.x^{0} + C_{n}^{1}.x + C_{n}^{2}.x^{2} +...+ C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 + 1)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} +...+ C_{n}^{n} (1)$

và $(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}.C_{n}^{n}.x^{n}$

$\rightarrow (1 - 1)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}C_{n}^{n} (2)$

Ta lấy phương trình (1) + (2) tớ được:

$2^{n} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)$

Lấy (1) - (2) tớ được

$2^{n} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

$\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)$

Vậy $C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+... = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+... = 2^{n-1}$

2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh phù hợp tổ hợp

Đối với dạng bài xích này, các em dùng những công thức tính số hoạn, tổng hợp chỉnh phù hợp nhằm thay đổi phương trình tiếp sau đó đánh giá ĐK của nghiệm và Kết luận.

VD1: Tìm n biết $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15$

Lời giải:

Điều khiếu nại $n\geqslant 2$

Giả thiết tương tự với:

$n+\frac{n(n-1)}{2}=15\Leftrightarrow n^{2}+n-30=0\Leftrightarrow n=5$ hoặc $n=-6$ (loại)

VD2: Cho khai triển $\left ( 1+2x \right )^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ . Tìm số vẹn toàn dương n biết $a_{0}+8a_{1}=2a_{2}=1$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

$(1 + 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}(2x)^{k} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}.2^{k}.x^{k}$

Từ tê liệt, tớ đem thông số của x^k là $a_{k} = 2^{k}C_{n}^{k}$

Theo fake thiết vẫn mang lại của đề bài xích tớ có:

$C_{n}^{0} + 8.2.C_{n}^{1} = 2.2^{2}.C_{n}^{2} + 1 \Leftrightarrow 1 + 16n = 8.\frac{n(n - 1)}{2} + 1 \Leftrightarrow 4n^{2} - 20n = 0$

$\Leftrightarrow n = 5$

VD3: Tìm số ngẫu nhiên n thỏa mãn: $C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n}=2^{2015}$

Lời giải:

Đặt:

$A = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{2} + C_{2n}^{4} +...+ C_{2n}^{2n}$

$B = C_{2n}^{1} + C_{2n}^{3} + C_{2n}^{5} +...+ C_{2n}^{2n - 1}$

Từ tê liệt tớ suy rời khỏi được:

$\left\{\begin{matrix} A + B = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} +...+ C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n} = (1 + 1)^{2n} = 2^{2n}\\A - B = C_{2n}^{0} - C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} -...- C_{2n}^{2n - 1}+ C_{2n}^{2n} = (1 - 1)^{2n} = 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A = \frac{2^{2n}}{2} = 2^{2015} \Leftrightarrow 2n = năm nhâm thìn \Leftrightarrow n = 1008$

Nhận ngay lập tức bí mật trọn vẹn cỗ cách thức giải từng dạng bài xích nhập đề đua Toán trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Trên đấy là toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài xích tập dượt của hệ thức nhị thức niu tơn nhập công tác Toán 11. Để đạt được sản phẩm cao các em nên thực hiện thêm thắt nhiều loại bài xích không giống nữa. Hy vọng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài xích tập dượt kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Để học tập và ôn tập dượt nhiều hơn thế nữa những phần kiến thức và kỹ năng lớp 12 đáp ứng ôn đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán, những em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện ngay lập tức kể từ ngày hôm nay nhé!

Bài ghi chép xem thêm thêm:

Xem thêm: làm tròn đến hàng đơn vị

Hoán vị, tổng hợp và chỉnh hợp

Quy tắc đếm

Phép test và đổi thay cố