thể tích hình chóp đều

Công thức tổng quát mắng và công thức tính nhanh chóng thể tích khối chóp đều:

Khối chóp đều

  • Là khối chóp đem lòng là nhiều giác đều và những cạnh mặt mày cân nhau (hoặc góc thân ái lòng và những cạnh mặt mày vì thế nhau)

  • Chân lối cao trùng với tâm lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp mặt mày đáy;

  • Các cạnh mặt mày tạo nên với lòng góc vì thế nhau;

  • Các mặt mày mặt tạo nên với lòng góc vì thế nhau;

  • Chiều cao $h$ khối chóp xác lập vì thế $h=\sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ nhập cơ ${{R}_{d}}$ là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp nhiều giác lòng và $b$ là phỏng nhiều năm cạnh mặt mày.

  • Khối chóp n giác đều, phỏng nhiều năm cạnh lòng là a, phỏng nhiều năm cạnh mặt mày là b đem $V=\dfrac{1}{24}{{a}^{2}}\cot \dfrac{\pi }{n}\sqrt{4{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{n}}}.$

Một số tình huống quan trọng của khối chóp đều

  • Khối tứ diện đều cạnh $a$ đem $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ nhập cơ $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ là độ cao khối tứ diện đều.  
  • Khối chóp tam giác đều cạnh lòng vì thế $a,$ cạnh mặt mày vì thế $b$ đem $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
  • Khối chóp tứ giác đều cạnh lòng vì thế $a,$ cạnh mặt mày vì thế $b$ đem $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
  • Khối chóp tứ giác đều sở hữu toàn bộ những cạnh vì thế $a,$ đem $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
  • Khối chén diện đều cạnh $a$ là phù hợp của nhị khối chóp tứ giác đều sở hữu toàn bộ những cạnh vì thế $a$ đem $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
  • Khối chóp lục giác đều cạnh lòng vì thế $a,$ cạnh mặt mày vì thế $b$ đem $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$

>>Xem thêm: Công thức tổng quát mắng tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống quánh biệt

>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp đem cạnh mặt mày vuông góc với mặt mày lòng và thể tích của khối chóp đem nhị mặt mày mặt nằm trong vuông góc với mặt mày đáy

>>Xem thêm: Giải đáp học viên - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? nhằm hình chóp S.ABCD hoàn toàn có thể tích lớn số 1.

Combo 4 Khoá Luyện thi đua trung học phổ thông Quốc Gia 2023 Môn Toán dành riêng cho teen 2K5

Khối chóp có tính nhiều năm phụ vương cạnh mặt mày vì thế nhau

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ đem $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân lối cao của khối chóp trùng với tâm lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy độ cao khối chóp $h=\sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$

Bạn đang xem: thể tích hình chóp đều

Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ đem $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{m}}(3\le m\le n)$ khi cơ nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên trên bề mặt phẳng lặng lòng trùng với tâm nước ngoài tiếp của nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}.$

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem $AB=a,\text{ }BC=3a,\text{ }CA=\dfrac{5a}{2}.$ tường ${A}'A={A}'B={A}'C$ và cạnh mặt mày $A{A}'$ tạo nên với mặt mày phẳng lặng lòng $\left( ABC \right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ đang được cho tới bằng

A. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

B. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$

C. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

D. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$

Giải. Vì ${A}'A={A}'B={A}'C$ nên hình chiếu vuông góc của \[{A}'\] xuống mặt mày phẳng lặng $\left( ABC \right)$ trùng với tâm lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp $O$ của tam giác $ABC.$

Ta đem ${A}'O\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AO}={{60}^{0}}\Rightarrow {A}'O=OA\tan {{60}^{0}}={{R}_{ABC}}\sqrt{3}=\dfrac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}\sqrt{3}$

$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'O=\dfrac{AB.BC.CA}{4}\sqrt{3}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ đem $SA=1,$ toàn bộ những cạnh còn sót lại vì thế $\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$

A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$

Xem thêm: năng lượng không tái tạo

C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

Giải. Tứ giác $ABCD$ có tính nhiều năm những cạnh vì thế $\sqrt{3}$ nên là một trong hình thoi có tính nhiều năm cạnh vì thế $\sqrt{3}.$

Vì $SB=SC=SD=\sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên trên bề mặt phẳng lặng $(ABCD)$ trùng với tâm lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân nặng bên trên $C$ nên $H\in AC$ là trung trực của cạnh $BD.$

Gọi $O=AC\cap BD$ để ý $\Delta SBD=\Delta ABD(c-c-c)\Rightarrow SO=AO\Rightarrow SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông bên trên $S.$

Do cơ $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}.1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Ta đem $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4\left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} \right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8\Rightarrow BD=2\sqrt{2}.$

Do cơ ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2.2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện: Khối chóp $S.ABCD$ đem lòng là hình thoi cạnh $2$ và $SB=SC=SD=2,$ cạnh $SA$ thay cho thay đổi. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Thể tích lớn số 1 của khối tứ diện $MBCD$ bằng

Xem thêm: dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp