Cấp Số Nhân Là Gì? Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Và Bài Tập

Cấp số nhân là phần kỹ năng và kiến thức cần thiết vô công tác toán trung học phổ thông. Trong số đó, những công thức cấp cho số nhân khá phức tạp. Vì vậy, nhằm thực hiện bài xích luyện thì những em cần thiết ghi ghi nhớ và biết phương pháp áp dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại những công thức và bài xích luyện cấp cho số nhân qua quýt nội dung bài viết tại đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là 1 trong sản phẩm số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhị, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một vài ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

Bạn đang xem: tổng của cấp số nhân

$u_{n}$ là cấp cho số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n \in N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$ , với $u_{n}=3^{n}$ là 1 trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân u_n có

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

$(u_{n})$ là 1 trong cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhị, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục vày tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

Nếu một cấp cho số nhân u_n đem số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát mắng u_n sẽ tiến hành tính vày công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy mò mẫm u₄

Lời giải:

Ta có: u₂²= u₁. u₃= 3

u₃²= u₂. u₄

Từ (1) vì thế u₂ > 0 ( vì thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

Khi q = 0 thì sản phẩm đem dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁
Khi q = 1 thì sản phẩm đem dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.
Khi u₁= 0 thì với từng q, cấp cho số nhân đem dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao hoàn hảo cỗ kỹ năng và kiến thức về cấp cho số nhân

4. Tổng thích hợp những công thức tính cấp cho số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
Kết luận:

Nếu q là ko thay đổi thì sản phẩm u_n là cấp cho số nhân
Nếu q thay cho thay đổi thì sản phẩm u_n ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân đem số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải:

Ta đem 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n đem số hạng loại nhị là 10 và số hạng loại năm là 1250.

Tìm số hạng loại nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

Ta có: r^(5-2)= r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ bại liệt r = 5.

$\Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng loại nhất là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang đến cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$ . Dãy số U_n bên trên là cấp cho số nhân đích hoặc sai?

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc điểm của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân U_n đem U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân U_n đem U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ công thức tớ có:

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề mang đến tía số x,y,z lập trở nên một cấp cho số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

Giải vấn đề công thức cấp cho số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để mò mẫm số hạng của cấp cho số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát mắng U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁và q của cấp cho số nhân biết:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta vươn lên là đổi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12$

Vậy cấp cho số nhân (u_n) đem u₁ = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp cho số nhân (u_n) với u₃= 8 , u₅= 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân bại liệt là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (u_n), tớ đem $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tớ đem u₁₀= u₃. q^₇= 8 . 2^₇= 1024

Với q = -2, tớ đem u₁₀= u₃. q⁷= 8 . (-2)⁷= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (u_n), hiểu được số hạng thứ nhất u₁= 3, công bội là 2. Hãy mò mẫm số hạng loại 5

Lời giải:

Áp dụng công thức tớ đem : u_n= u₁. q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅= u₁. q⁴=3 . 2⁴= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng thứ nhất vô dãy

Ta dùng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng thứ nhất vô sản phẩm - công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(u_n) đem u₁=2 và q = 3.

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp cho số nhân (u_n) với

$(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì?
10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (u_n) bên trên đem tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Giải bài xích luyện vận dụng công thức cấp cho số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

Dãy số là cấp cho số nhân là đích hoặc sai?
Tính S = u₂+ u₄+ u₆... + u₂₀

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy thuộc vào n. Vậy sản phẩm số (U_n) là 1 trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở nên một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u₂= 9, q = 3

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác lăm le những bộ phận kết cấu nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy đi ra được công thức mang đến số hạng tổng quát mắng .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, mò mẫm u₁ khi:

$u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}$

Mà $u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow$ Ta đem q = 3 hoặc $q = \frac{1}{3}$

Khi bại liệt thứ tự lượt $u_{1} = \frac{81}{11}$ hoặc $u_{1} = \frac{1}{11}$

Xem thêm: mở bài nghị luận xã hội

Ví dụ 2: Dãy số này là cấp cho số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...
1,22,222,2222,...
X,2x,3x,4x,...
2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét đáp án A tớ có:

u₁= 1, u₂= u₁. 0,2, u₃= u₁. (0,2)², u₄= u₁. (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ chứng tỏ được u_n= (0,2)ⁿ

Khi bại liệt $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy sản phẩm số là cấp cho số nhân đem công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp cho số nhân (u_n) cần thiết mò mẫm đem công bội q, số hạng thứ nhất u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂+ u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅)

= q . S₅

Mà S₅= 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp cho số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm hoàn hảo kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài xích luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (u_n) đem công bội q vừa lòng -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n= u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ- 1)(q - 1)

Trong bại liệt s_n là tổng n số hạng thứ nhất của cấp cho số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp cho số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài xích mang đến cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ đem tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu biểu diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng tía số hạng thứ nhất của sản phẩm số là $\frac{39}{25}$ . Xác lăm le (u₁), q của cấp cho số đó?

Lời giải:

Giải vấn đề vận dụng công thức cấp cho số nhân

6. Một số bài xích luyện cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un đem công bội q

a) tường u₁= 2, u₆ = 486. Tìm q

b) tường $q= \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tính u₁

c) tường u₁ = 3, q = -2. Xác lăm le số 192 là số hạng loại bao nhiêu vô cấp cho số nhân?

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁.q^n-1

a) Theo công thức bên trên tớ có: u₆ = u₁.q⁵ $\Rightarrow$ $q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3$

b) Theo công thức tớ có: u₄ = u₁.q³ $\Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}$

c) Theo công thức tớ có: $12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng loại 7

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (u_n) biết cấp cho số nhân bao gồm đem 5 số hạng và:

a) TH1: u₃= 3 , u₅= 27

b) TH2: u₄– u₂ = 25 , u₃ – u₁ = 50

Lời giải:

a) Theo công thức u_n = u₁.q^{n - 1} ta đem theo lần lượt những số hạng u₃ và u₅ được tính như sau:

u₃ = u₁.q² $\Rightarrow$ 3 = u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ $\Rightarrow$ 27 = u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) tớ hoàn toàn có thể suy đi ra được

$q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$

Xét ngôi trường hợp:

Với q = 3 tớ đem $u_{1} = \frac{1}{3}$ ta đem cấp cho số nhân theo lần lượt là: $\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27$

Với q = -3 tớ đem $u_{1} = -\frac{1}{3}$ ta đem cấp cho số nhân theo lần lượt là: $\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27$

b) Theo đề bài xích đi ra tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.$

Thay (2) vô phương trình (1) tớ đem 50.q = 25 $\Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}$

Vậy tớ đem cấp cho số nhân như sau:

$-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu vày 31, kể từ bại liệt tớ suy ra:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

$\Rightarrow$ u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 31q

$\Rightarrow$ u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau vày 62 kể từ thách thức suy ra

u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S₅ = 31 = $\frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1$

Vậy tớ đem cấp cho số nhân theo đuổi đề bài xích là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là 1 trong,4%. tường rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là 1 trong,8 triệu con người, chất vấn với nấc tăng bổng vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh bại liệt là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh bại liệt thời điểm hiện tại là N

Sau 1 năm số lượng dân sinh tăng là 1 trong,4%N

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh bại liệt sau từng năm lập trở nên một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài xích mang đến u_n đem những số hạng 0, tìm u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$ . Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải:

Giải vấn đề vận dụng công thức cấp cho số nhân

Tham khảo ngay lập tức một vài dạng bài xích luyện thương gặp gỡ về cấp cho số nhân được những thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ tổn thất gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đuổi sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks gom bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính tiền ngay!!

Xem thêm: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài xích luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện nhằm học tập và ôn luyện kỹ năng và kiến thức Toán 11 phục vụ ôn đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ thời điểm hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Tổng thích hợp những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài xích tập
Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài xích tập
Xác suất của vươn lên là cố
Giới hạn của sản phẩm số